STATISTIKA MATEMATIKA NINDA DWI SISWANTIJUMLAHAN VARIABEL ACAK Formula Konvulasi (lilit/lingkar) Jika yang diperhatikan dalam pdf hanya sebuahjumlahan S = x1 + x2 , dimana x dan x kontinu dengan pdf bersama F(x,x), maka rumus umumm dapat diturunkan menggunakan pendekatan dari contoh 6.2.12 : Jka x dan x independent maka biasanya dilanjutkan sebagai rumus konvulasi : Contoh 3.4.1 Misalo x dan x independent dan menyebar seragam xMisalo x dan x independent dan menyebar seragam xะ ~ UNIF (0,1) dan S = x1 + x2 daerah B berhubungan ke transformasi t = x1 dan S = x1 + x2 adalab B = {(S,t) | 0 < t < S < t+1 < 2} Diperlihatkan pada gambar berikut Dari equations 6.2.4 Dan 0 yang lain Pada beberapa keadaanbisa jadi penting untuk mempertimbangkan titik lain daripada hanya batas dalam menentukan wilayah range B baru. Contoh 6.4.2 Misalkan x dan x variabel bersama saliang bebas Misal Y1 = x1 + x2 dan Y2 = x1 / (x1 + x2), dengan transforamasi invers x1 = y1 y2 Dan x2 = y1y2 dan x2 = y1 (1-y2), maka kita punya Dan Jika (y,y) B = {(y1,y2)|0 < y1 < ∞, 0 < y2 < 1} dan 0 kemungkinan yang lain, Batasnya di susun dari segmen positif dari garis x1 = 0 ke segmenpositif garis y2 = 0 , dan segmen positif x2 = 0 dipetakan kesegmen positif garis y2 = 0, karena y2 = x1 (x1 +x2) = x1 / x1 = 1 dan y2 = x1 >1, ketika x2 = 0 ini tidak lengkap batas B, tetapi terdiri dari segmen positif x2 = kx1, sebagai k , ambil nilai antara 0 sampai ∞, semua titik di A dimasukkan, dan demikian sebuah garis pemetaan ke dalam garis y1 = x1 + kx1 (1+k)x1 antara 0 dan ∞ sebagai 0 < x < ∞, k berjalan dari 0 samapai ∞, B tersusun dari semua garis-garis paralel antara y2 = 0 dan y2 = 1 Contoh 6.4.3 Anggap bahwa x1,x2,dan x3 adalah variabel – variabel sama yang saling bebas x1 ~ GAM (1 – αi) ; i = 1,2,3,…. PDF bersama nya adalah : Misal dan dengan transformasi inverse x = y1 y2 , dan x3 = y3 = (1 – y1 – y2) Kita punya : j = = dan dimana B = {(y1,y2)|0 < y1 < ∞, 0 < y2 < ∞, y1 + y2} < 1, 0 < y3 < ∞} Dapat dilihat dalam kondisi ini bahwa Y3 sebuah variabel gamma dan saling bebas dari Y1 dan Y2 walaupun Y1 dan Y2 tidak saling bebas satu sama lain, kepadatan peluang bersama dari 1dan Y2 diketahu sebagai sebuah distribusi “Dirichiet”. Sebuah pola yan sama diperoleh jika tranformasi ini dikembangkan untuk sebanyak k variabel dalam keadaan khusus, jika X1 ~ GAM (1 – αi), i=1,2,…k. dan saling bebas maka: Jumlahan dari variabel acak seringkali muncul dalam praktik sebuah teknik dasar fungsi pembangkit moment yang mana biasanya jauh lebih mudah daripada menggunakan metode transformasi untuk menentukan distribusi dari jumlahan – jumlahan acak yang independent.JUMLAHAN VARIABEL ACAK Formula Konvulasi (lilit/lingkar) Jika yang diperhatikan dalam pdf hanya sebuahjumlahan S = x1 + x2 , dimana x dan x kontinu dengan pdf bersama F(x,x), maka rumus umumm dapat diturunkan menggunakan pendekatan dari contoh 6.2.12 : Jka x dan x independent maka biasanya dilanjutkan sebagai rumus konvulasi : Contoh 3.4.1 Misalo x dan x independent dan menyebar seragam xMisalo x dan x independent dan menyebar seragam xะ ~ UNIF (0,1) dan S = x1 + x2 daerah B berhubungan ke transformasi t = x1 dan S = x1 + x2 adalab B = {(S,t) | 0 < t < S < t+1 < 2} Diperlihatkan pada gambar berikut Dari equations 6.2.4 Dan 0 yang lain Pada beberapa keadaanbisa jadi penting untuk mempertimbangkan titik lain daripada hanya batas dalam menentukan wilayah range B baru. Contoh 6.4.2 Misalkan x dan x variabel bersama saliang bebas Misal Y1 = x1 + x2 dan Y2 = x1 / (x1 + x2), dengan transforamasi invers x1 = y1 y2 Dan x2 = y1y2 dan x2 = y1 (1-y2), maka kita punya Dan Jika (y,y) B = {(y1,y2)|0 < y1 < ∞, 0 < y2 < 1} dan 0 kemungkinan yang lain, Batasnya di susun dari segmen positif dari garis x1 = 0 ke segmenpositif garis y2 = 0 , dan segmen positif x2 = 0 dipetakan kesegmen positif garis y2 = 0, karena y2 = x1 (x1 +x2) = x1 / x1 = 1 dan y2 = x1 >1, ketika x2 = 0 ini tidak lengkap batas B, tetapi terdiri dari segmen positif x2 = kx1, sebagai k , ambil nilai antara 0 sampai ∞, semua titik di A dimasukkan, dan demikian sebuah garis pemetaan ke dalam garis y1 = x1 + kx1 (1+k)x1 antara 0 dan ∞ sebagai 0 < x < ∞, k berjalan dari 0 samapai ∞, B tersusun dari semua garis-garis paralel antara y2 = 0 dan y2 = 1 Contoh 6.4.3 Anggap bahwa x1,x2,dan x3 adalah variabel – variabel sama yang saling bebas x1 ~ GAM (1 – αi) ; i = 1,2,3,…. PDF bersama nya adalah : Misal dan dengan transformasi inverse x = y1 y2 , dan x3 = y3 = (1 – y1 – y2) Kita punya : j = = dan dimana B = {(y1,y2)|0 < y1 < ∞, 0 < y2 < ∞, y1 + y2} < 1, 0 < y3 < ∞} Dapat dilihat dalam kondisi ini bahwa Y3 sebuah variabel gamma dan saling bebas dari Y1 dan Y2 walaupun Y1 dan Y2 tidak saling bebas satu sama lain, kepadatan peluang bersama dari 1dan Y2 diketahu sebagai sebuah distribusi “Dirichiet”. Sebuah pola yan sama diperoleh jika tranformasi ini dikembangkan untuk sebanyak k variabel dalam keadaan khusus, jika X1 ~ GAM (1 – αi), i=1,2,…k. dan saling bebas maka: Jumlahan dari variabel acak seringkali muncul dalam praktik sebuah teknik dasar fungsi pembangkit moment yang mana biasanya jauh lebih mudah daripada menggunakan metode transformasi untuk menentukan distribusi dari jumlahan – jumlahan acak yang independent.